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信号处理第一篇——浅谈正弦信号

在这篇博客中，我们不讨论有关于正弦信号数学层面的意义，而是将理论结合工程，讨论信号处理中一些要注意的事项。

图 1

上图是一个用matlab生成的频率为10Hz的正弦信号，需要注意的是，matlab生成的正弦信号，本质是一组离散有限长度的周期信号。实际上，我们任何的一个数字信号系统（比如雷达系统），所得到的信号都是离散的，持续时间有限的信号。

我们对上述信号新型FFT处理，得到：

图 2

在上述频谱图中，出现了两个峰值，可以看到第一个峰在10Hz左右的位置，这与信号的频率一致。还有一个峰出现在190Hz左右的位置。这是什么呢？按道理而言，正弦信号的确有两个峰。但是是关于零频(0Hz)对称的。也就是说另一个峰应该出现在频率等于-10Hz的地方。原因在于，FFT之后，得到是数组，显然，数组的索引代表了频率值，然而索引值显然是从1开始的，因此无法表示负频率。因此只能把-10Hz的频率成分放在最后，变成201-10Hz=190Hz。这也就是为什么我们在190Hz的地方看到峰的原因。使用fftshift函数，则可以得到我们想要的结果：

图 3

上图中，两个峰值分别出现在10Hz和-10Hz的位置，出现在正确的位置。

图 4

对比图3和图4，可以看出，模拟信号的采样率提升了，则在采样周期相同的情况下，采样点数更多了，那么其对应的频率分辨率就更高。

图5

增加FFT点数，并不能提高频谱分辨率，但是可以细化频谱，图5中，可以较为清楚的看到频域信号的sinc函数的形状。

幅度失真后果

频率失真的结果

频率偏移的运行结果：

可见频率失真对于频谱的影响是非常大的。

代码：

%% 正弦信号频谱分析，matlab代码

clear

close all

clc

%% signal

A=1; %幅度

f=10; %频率

w=2*pi*f; %

p=0; %相位

%采样

T=1; %s %观测时间

fs=20*f; %Hz %采样频率

d=1/fs; %s %采样间隔

t0=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w*t0+p); %正弦信号

figure(1)

plot(t0,s1);

xlabel('时间/s');

ylabel('幅度');

%% FFT

%FFT (这里会多一个镜像信号，但是位置不对)

NFFT = length(t0);

FFTres = fft(s1,NFFT);

FFTAmu = abs(FFTres);

n = 0:NFFT-1;

ft0=n*fs/NFFT; %频率序列

figure(2)

plot(ft0,FFTAmu)

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

title('信号频率f=10Hz,傅里叶变换点数NFFT=N');

%% 采用fftshift将对称干扰信号搬移到正确位置。

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(3)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=200Hz,傅里叶变换点数NFFT=N')

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

%% 改变采样频率，看结果会怎么样

fs=5*f; %Hz %采样频率，10倍信号频率

T=1; %s %观测时间，信号长度

%采样间隔

d=1/fs; %s %采样间隔

t1=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w*t1+p); %正弦信号

NFFT1 = length(t1);

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT1));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft1=(-NFFT1/2:NFFT1/2-1)*fs/NFFT1; %频率序列

figure(4)

plot(ft1,FFTAmu)

% 结果表明采样频率降低之后，信号频谱分辨率会降低

%从另外一个角度讲，

title('采样频率fs=50Hz,信号时长T=1S')

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

%% 改变傅里叶变换的点数

fs=20*f; %Hz %采样频率，10倍信号频率

T=1; %s %观测时间，信号长度

%采样间隔

d=1/fs; %s %采样间隔

t1=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w*t1+p); %正弦信号

NFFT = 8*length(t1);

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(5)

plot(ft,FFTAmu)

% 结果表明采样频率降低之后，信号频谱分辨率会降低

%从另外一个角度讲，

title('采样频率fs=200Hz,傅里叶变换点数NFFT = 4*N')

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

%% 改变信号持续周期

fs=5*f; %Hz %采样频率，10倍信号频率

T=4; %s %观测时间，信号长度

%采样间隔

d=1/fs; %s %采样间隔

t2=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w*t2+p); %正弦信号

NFFT = length(t2);

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(6)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=50Hz,信号时长T=4S')

xlabel('频率/Hz');

ylabel('幅度');

%% 假设信号的初始相位不为0，会发生什么？

A=1; %幅度

f=10; %频率

w=2*pi*f; %

p=pi/3; %相位

%采样

T=1; %s %观测时间

fs=20*f; %Hz %采样频率

d=1/fs; %s %采样间隔

t0=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w*t0+p); %正弦信号

NFFT = length(t0);

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(7)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=20f,信号观测时长T =1s,初始相位p=pi/3')

%% 假设信号的幅度有失真，会发生什么？

f=10; %频率

w=2*pi*f; %

p=0; %相位

%采样

T=1; %s %观测时间

fs=20*f; %Hz %采样频率

d=1/fs; %s %采样间隔

t0=-T/2:d:T/2; %离散时间t

NFFT = length(t0);

% 随机生成幅度值

pd = makedist('Normal',1,0.2) % Normal(mu,sigma)

pdt = truncate(pd,0.5,1.5) % truncated to interval (0,1)

numRows = 1;

numCols = NFFT;

A = random(pdt,numRows,numCols); % Sample from distribution `pdt`

s1=A.*sin(w*t0+p); %正弦信号

figure(8)

plot(t0,s1);

xlabel('时间/s');

ylabel('幅度');

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(9)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=20f,信号观测时长T =1s')

%%

%% 假设信号的频率有失真，会发生什么？

A=1; %幅度

p=0; %相位

%采样

T=1; %s %观测时间

fs=20*10; %Hz %采样频率

d=1/fs; %s %采样间隔

t0=-T/2:d:T/2; %离散时间t

NFFT = length(t0);

% 随机生成幅度值

pd = makedist('Normal',10,0.5); % Normal(mu,sigma)

pdt = truncate(pd,9,11) ; % truncated to interval (0,1)

numRows = 1;

numCols = NFFT;

f= random(pdt,numRows,numCols); % Sample from distribution `pdt`

w=2*pi.*f; %

s1=A.*sin(w.*t0+p); %正弦信号

figure(10)

plot(t0,s1);

xlabel('时间/s');

ylabel('幅度');

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(11)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=20f,信号观测时长T =1s')

%% 处理接收两路的回波信号

A=1; %幅度

f1=10; %频率

f2=25;

w1=2*pi*f1;

w2=2*pi*f2;

p=0;

%采样

T=1/10; %s %观测时间

fs=20*f2; %Hz %采样频率

d=1/fs; %s %采样间隔

t0=-T/2:d:T/2; %离散时间t

s1=A*sin(w1*t0+p)+A*sin(w2*t0+p); %正弦信号

figure(10)

plot(t0,s1);

FFTres = fftshift(fft(s1,NFFT));

FFTAmu = abs(FFTres);

ft=(-NFFT/2:NFFT/2-1)*fs/NFFT; %频率序列

figure(12)

plot(ft,FFTAmu)

title('采样频率fs=20f,信号观测时长T =1s')